P1908 逆序对（树状数组）-白红宇

P1908 逆序对（树状数组）

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发布时间：2019-03-21

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对于逆序对的计算，可以借助树状数组（BIT）来高效解决问题。树状数组是一种数据结构，专门用于处理前缀和查询等操作，非常适合逆序对计数的问题。以下是对该问题的详细分析和解决方法：

首先，理解逆序对的定义：逆序对是指在数组中，i < j 且 a[i] > a[j]。计算逆序对的数量在数据处理领域是一个常见问题，传统的双重循环算法在数据量较大时显然效率低下。树状数组可以在这种问题上实现时间复杂度的优化。

核心思想

离散化（Coordinate Compression）：由于数组元素可能非常大，直接使用数组索引无法处理，因此需要将原始数值映射到较小的范围内。如何离散化是关键：

将数组中的元素(unique后)按顺序排列，分配给它们新的id，确保相同的数值得到相同的id。

在比较两个元素时，先比较它们的新id，这样离散化后的数据保持了原来的相对顺序。

树状数组的应用：

更新操作：在树状数组中记录元素出现的位置。

查询操作：通过树状数组计算前缀和，从而统计逆序对的数量。

详细步骤

离散化过程：

将数组中的元素收集起来，去重，并按照从小到大的顺序排列。

为每个唯一元素分配一个新的id，id的顺序与元素的原顺序一致。例如，元素1、3、5映射到id1、id2、id3。

树状数组的初始化：

确定离散化后的最大id，然后初始化一个数组tree，大小为当前最大id的两倍，确保 suf（最低有效位）为1。

lowbit函数：

used to determine the next position in the tree for update or query operations.

该函数通过位运算快速找到下一个树状数组的位置，即pos += lowbit(pos)。

更新操作：

每次遇到一个元素，调用update函数，将其位置记录到树状数组中。例如，当处理5时，update函数会在id3位置增加计数。

查询操作：

为了计算逆序对的数量，按顺序处理每个元素。针对元素a[j]，统计前面已经处理的元素中id大于当前元素id的数量，这部分的数量即为与a[j]形成逆序对的数量。

使用query函数获取前缀和，统计满足条件的逆序对数目。

逆序对计算：

最终的答案为总组合数减去非逆序对数。例如，示例数组中有5个元素，总共有C(5,2)=10个组合，其中7个是非逆序对，答案是10-7=3个逆序对。

树状数组的实现

# 树状数组实现def init(max_n):    return [0] * (max_n + 2)def update(tree, index, value):    while index <= max_n:        tree[index] += value        index += lowbit(index)def query(tree, index):    res = 0    while index > 0:        res += tree[index]        index -= lowbit(index)    return resdef query_range(tree, l, r):    return query(tree, r) - query(tree, l - 1)

代码示例

def main():    n = len(arr)    sorted_unique = sorted(list(set(arr)))    # 创建映射字典，将每个元素映射到最小的id    id_map = {v: i + 1 for i, v in enumerate(sorted_unique)}    max_id = max(id_map.values())        tree_size = max_id * 2    tree = init(tree_size)        for num in arr:        id_num = id_map[num]        update(tree, id_num, 1)            res = 0    for i in reversed(range(n)):        num = arr[i]        current_id = id_map[num]        res += query(tree, current_id - 1)    return res